1 偏最小二乘回归原理简述

1. t₁和u₁应尽可能大地提取它们各自原变量系统中的变异信息；
2. t₁与u₁的相关程度能够达到最大。

1. 将原始观测数据X、Y标准化，得到标准化后的自变量矩阵E₀和因变量矩阵F₀。
2. 求主轴w_i、c_i和主成分t_i、u_i，采用如下迭代算法(为简化起见，略去下标i) :
   1. 取u为某一列y_j, E=E₀，F=F₀；
      对E数据块：
   2. w^T= u^TE/u^Tu
   3. w^T_new=w^T_old/||w_old||
   4. t=Ew/w^Tw
      对F数据块：
   5. c^T=t^TF/t^Tt
   6. c^T_new=c^T_old/||c_new||
   7. u=Fc/c^Tc
   8. 检查收敛性，若在第d.步计算的t值或满足计算精度要求，则转i. ，否则，转至b.；
   9. p^T=t^Tx/t^Tt
   10. p^T_new=r^T_old/||p_new||
   11. t_new=t_old/||t_old||
   12. w^T_new=w^T_old/||p_old||
   13. 计算残差E_res和F_res: E_res=E-tp^T
       F_res=F-tr^T
3. 令E=E_res, F=F_res。返回第b.步，进行下一轮主轴和主成分的计算；若在计算完第m个成分后算法终止，则有 E₀=t₁p₁^T+t₂p₂^T+…+t_mp_m^T
   F₀=t₁r₁^T+t₂r₂^T+…+t_mr_m^T
   由于t₁, t₂，…，t_m均可表示为E₀₁, E₀₂，…，E_0m的线性组合，因此可以得到y^*=F₀关于x_j^*=E_0j的回归方程形式： Y^*=a₁x₁^*+a₂x₂^*+…+a_mx_m^*+F_m
   式中F_m为残差。
4. 按照标准化的逆过程，将Y^*还原为Y。

2 实验数据及其分析与建模

1. 实验数据的获取
切削过程刀具磨损的有关数据是在数控车床上进行实验而获得，刀具材料为硬质合金(Sandvik Coromat Co. TNMG16-04-08-QM) ，工件为P20模具钢棒料，由安装在刀架上的Kistler动态测力仪实时测量加工过程中三向切削分力，切削分力由智能切削模块处理并保存在硬盘上，每切削一定行程(即进给距离S)后，刀具的磨损值VB由刀具显微镜测定并记录。
在不同的切削条件下，进行了多组切削实验。实验条件如右表所示。
在右表所示的切削条件下，进行了车削实验，试验测得切削分力值F_x、F_y、F_z，图1所示为x向切削分力均值曲线，后刀面磨损量VB如图2所示

图1 切削分力Fx测量值

图2 后刀面磨损测量值

在切削加工过程中，由于影响刀具磨损的因素较多，建模时首先要进行自变量的筛选。本研究中采用PLSR方法进行变量筛选。以切削速度V、进给量f、三向切削分力的均值F_x、F_y和F_z、分力比值R_yx=F_x/F_x、R_zx=F_z/F_x以及切削深度a等8 个变量作为自变量，作变量重要性投影VIP指标及因子分析，得出VIP指标图(图3)和因子载荷a_i图(图4 )。

图3 变量的VIP图

图4 因子载荷图

VIP图和a_i图显示，变量f(进给速度)和变量a(切削深度)的VIP值和载荷因子系数a₂和a₈相对于其它变量来说要小得多，因此在模型中，可以忽略。这一结果对实际加工过程中对刀具磨损的在线实时估计和监控具有十分重要的意义，因为在加工过程中，切削深度随着工件的廓形或加工余量的变化会发生变化，而进给速成度可能由于操作者的修调也不会保持为常量。根据上述分析，建模时可去除变量f和变量a。更深入的切削力学和刀具磨损机理分析表明，当引入切削力比值后，可以忽略切削深度及进给量对刀具磨损的影响。因此，PLSR对实验数据的分析与理论分析结果是相吻合的，这表明PLSR对刀具磨损影响因素的分析具有与切削理论一致的解释。可以认为，以切削速度V、切削分力F_x、F_y、F_z的均值、比值R_yx和RR_zx作为自变量，以刀具磨损VB^*值为因变量，对刀具磨损的建模和在线预报是较好的选择。因此，切削过程刀具磨损的模型可表示为 VB^*=aa₁V^*+a₂F_x^*+a₃F_y^*+a₄F_z^*+a₅R_yx^*+a₆R_zx^*
刀具磨损的PLS回归模型
对表1所列的切削条件下的实验数据，根据上述分析，以V、F_x、F_y、F_z、R_yx、R_zx作为自变量，VB ^*作为因变量，进行偏最小二乘回归迭代计算，求得

VB*=0.065V*+0.036Fx*+0.363Fy*+0.151Fz*+0.261Ryx*+0.4Rzx*

(1)

将VB^*按标准化的逆过程，即求出VB。

3 数据校验与在线预报模拟

1. 采用建模数据校验
2. 在线预报模拟
采用由式(1)表示的切削过程刀具磨损的偏最小二乘回归模型，对建模所用数据覆盖的切削条件下的实验数据进行校验计算，得到对VB 的计算值，图5 给出了计算值VB’与实测值VB对比的散点图。可以看出，大多数计算值与实测值是吻合的。
 

图5 对部分实验数据的校验结果

图6 在线预报模拟结果

为检验模型(1)是否适用于自变量新测量值的情况，采用在新的不同实验条件下测量的自变量数据，模拟实际切削过程中在线估计刀具磨损的情况。模拟估计结果VB’与实测值VB对比的散点图示于图6 。由该图可知，对于建模时没有覆盖的切削条件下的新测量样本点，由式(1)给出的回归模型仍可获得较好的估计预报值。

4 结论